비선형 시스템의 평형 공간과 의사 선형화

Dec 12, 2023

Scientific Reports 12권, 기사 번호: 21147(2022) 이 기사 인용

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본 논문에서는 평형점의 개념을 평형 공간이라는 개념으로 확장하여 무한한 수의 평형점이 존재하는 시스템에 적응할 수 있도록 시도합니다. 평형 공간에 대해 확장된 Lyapunov의 선형화 방법의 맥락에서 본 논문은 비선형 시스템에 대한 선형 표현을 유도할 수 있는 의사 선형화를 제안합니다. 이 유사 선형화의 평형 상태와 안정성은 원래의 비선형 시스템과 동일한 것으로 나타났습니다. 적용 가능성의 예로, 제안된 의사 선형화를 적용하여 비선형 연속시간 모델로부터 제어 모멘트 자이로스코프 시스템의 이산시간 모델을 도출한다. 시뮬레이션 결과, 제안된 의사 선형화를 사용하여 도출된 이산시간 모델은 잘 알려진 순차분법과 기존 의사 선형 표현을 통해 도출된 이산시간 모델보다 연속시간 모델에 더 가까운 응답을 나타냄을 보여줍니다. 샘플링 간격이 긴 경우에도 방법을 사용할 수 있습니다.

자연 현상에 기초한 대부분의 공학 시스템은 비선형적입니다. 비선형 시스템의 안정성 분석과 컨트롤러 설계는 시스템 제어 이론에서 중요한 문제입니다1. 그러나 이 분야의 선구적인 연구에도 불구하고 비선형 제어 시스템을 설계하는 보편적인 방법은 없습니다2. 비선형 시스템의 안정성을 연구하기 위해 직접법과 선형화법(또는 간접법)을 모두 포함하는 Lyapunov 이론은 가장 일반적이고 유용한 접근법 중 하나입니다. 직접 방법은 Lyapunov 함수를 사용하여 비선형 시스템의 전역 안정성을 연구하는 데 사용됩니다. 그러나 이것의 단점은 특정 시스템에 대한 Lyapunov 함수를 추론하는 일반적인 방법이 없다는 것입니다. 대조적으로, 선형화 방법은 선형 근사치를 기반으로 평형점 주변의 국지적 안정성을 연구하며, 이는 잘 알려진 선형 제어 이론3,4,5을 사용하여 비선형 시스템용 컨트롤러를 설계하는 데 중요한 도구가 되었습니다. 최근 몇 년 동안 Koopman 연산자와 수축 분석은 선형 시스템 이론6,7을 통해 전 세계적으로 정확하게 비선형 시스템의 단일 쌍곡선 평형의 안정성을 분석하는 두 가지 인기 있는 접근 방식이 되었습니다.

마찰 없이 수평면에서 움직이는 로봇8,9 또는 중력의 영향을 받지 않는 진자10,11와 같은 시스템에서 위치/각도 및 속도가 상태 변수로 선택되고 초기 속도가 0으로 설정됩니다. 임의의 초기 위치인 경우 시스템은 이후의 모든 시간 동안 초기 상태를 유지합니다. 보다 구체적으로, 이러한 시스템은 위치에 관계없이 무한한 수의 평형점을 갖습니다. 이러한 비고립 평형 집합은 평형 다양체로 알려져 있습니다. 평형 다양체의 개념은 고립된 평형의 중심 다양체와 다르다는 점에 유의해야 합니다. Lyapunov의 선형화 방법은 단일 평형점의 안정성을 조사하는 데 유용한 도구입니다. 그러나 무한한 수의 평형점을 갖는 시스템의 경우 모든 평형점을 개별적으로 조사하는 것은 현실적이지 않습니다. 또한 위에서 언급한 예는 비홀로노믹 시스템으로 알려져 있으며 선형화는 원래 비선형 시스템의 제어 가능성을 변경할 수 있습니다. 따라서 비선형 시스템은 제어 가능하더라도 선형화는 제어할 수 없으며 컨트롤러 설계에 적합하지 않습니다. 본 논문은 평형점의 개념을 평형 공간이라 불리는 것으로 확장하려고 시도하며, 이는 무한한 수의 평형점을 갖는 시스템에 적용할 수 있습니다. Lyapunov의 선형화 방법의 맥락에서 본 논문에서는 선형 형태로 표현되는 비선형 시스템을 유도할 수 있는 의사 선형화를 제안합니다. 이 논문의 주요 기여는 다음과 같습니다.